Решение задач с параметром

Аннотация. 

В работе рассматривается пример решения задачи с параметром – анализ пересечения двух графиков функций (ГФ) в зависимости от значения d. Они имеют вид:

В задаче необходимо построить график функции f1(x)f1(x) и найти значение d для следующих случаев:

А) ГФ не пересекаются – нет точек пересечения;

Б) линии сходятся ровно в одной позиции;

В) пересекаются ровно в двух местах;

Г) кривые имеют ровно три общих решения;

Д) пересекаются ровно в четырех точках.

Пример, который мы разберем в статье:

 \( f_1(x)= \lvert \frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)} \rvert \)

Преобразование f1(x)f1(x).

Для начала рассмотрим в ней подмодульное выражение и обозначим его через g(x)g(x), то есть:

Следовательно, значения x=1x=1 и x=−2x=−2 являются решениями уравнения

значит выражение x4+3x3−4x=x4+3x3−4x можно разложить на множители, два из которых — (x−1)(x−1) и (x+2)(x+2).

Графическое решение

ГФ \( f_1(x)= \lvert \frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)} \rvert = \lvert (x+1)^2-1 \rvert \)мы будем строить, используя элементарные преобразования: сдвиг по оси \(Ox\), сдвиг по оси \(Oy\) и отражение относительно оси \(Ox\).

Заметим, что функция \(f_2(x)=d\) является прямой, параллельной оси \(Ox\).

Из рисунка 1 (ГФ \(f_1(x)\)представлен на рисунке красным цветом) видно, что:

• А) нет точек пересечения: \(d<0\).
• Б) ровно в одной точке происходит пересечение — линии не пересекаются ровно в одной точке.
• В) ровно в двух местах происходит пересечение: \(d\in\{0\}\cup(1;+\infty)\).
• Г) уравнения имеют ровно три общих координаты: \(d=1\).
• Д) кривые пересекаются ровно в четырёх местах: \(d\in(0;1)\).

Аналитическое решение

Теперь найдём значение параметра \(d\) аналитически. Для этого приравняем наши функции \(f_1(x)=\lvert (x+1)^2-1 \rvert\) и \(f_2(x)=d\):

По определению модуля число \(d\ge 0\). Значит, при значении параметра \(d<0\) решений нет, то есть ГФ \(f_1(x)\)и \(f_2(x)\) не пересекаются.

Рассмотрим случай \(d\ge 0\):

При \(d\in(0;1)\) имеем ровно четыре корня: \(x_1,x_2,x_3,x_4\).

При \(d\in(1;+\infty)\) имеем ровно два корня: \(x_1,x_2\).

Отдельно рассмотрим параметр \(d=0\) и \(d=1\).

При \(d=0\) уравнение имеет два корня:

То есть ГФ имеют пересечения при \(d=0\)ровно в двух местах.

При \(d=1\) имеем три корня, то есть линии сходятся ровно в трёх позициях:

На рисунке 2 представлены области значений параметра \(d\).

Ответ.

А) графики функций не пересекаются – нет общих координат: d<0.

Б) графики функций сходятся ровно в одной позиции – не пересекаются ровно в одной точке. 

В) графики функций пересекаются ровно в двух позициях: \(d\in\{0\}\cup(1;+\infty)\)

Г) ГФ имеет ровно три общих решения: d=1.

Д) ГФ сходятся ровно в четырех координатах: d∈(0;1).

Основные ошибки, допускаемые при решении данной задачи

• Неправильное определение ОДЗ функции - до преобразования (упрощения) функции. 
• Ошибки в построении ГФ - сдвиг не в ту сторону, неправильное построение графика модуля функции.
• Неверный анализ параметра d - 

А: забывают, что модуль числа по определению – это неотрицательное число; 

Б: забывают условие неотрицательности дискриминанта; 

В: забывают рассмотреть значения параметра, когда уравнение имеет два совпадающих корня.

• Путают определения системы “ { “ и совокупности “ [ “

Литература

1. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу / под общ. ред. В. А. Садовничего. — М.: Издательство Московского университета, 1988. — 416 с.
2. Ткачук В. В. Математика — абитуриенту. — 18-е изд., стер. — М.: МЦНМО, 2018. — 944 с.

Анкета

Губарева Елена Александровна

Репетитор по высшей математике

Преподаватель и репетитор по высшей математике с опытом более 18 лет. Кандидат физико-математических наук, доцент, выпускница механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Проводит дистанционные занятия по математическому анализу, линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальным уравнениям, дискретной математике и другим разделам высшей математики для студентов вузов.