Q: Что такое задача с параметром?

Задача с параметром — это математическая задача, в которой необходимо исследовать, как изменяется количество или вид решений уравнения, неравенства или системы в зависимости от значения параметра.

Q: Какие существуют методы решения задач с параметром?

Наиболее распространены графический, аналитический, алгебраический, геометрический и комбинированный методы. Выбор способа зависит от вида функции и условия задачи.

Q: Когда лучше использовать графический метод решения задач с параметром?

Графический метод особенно удобен, когда задача связана с исследованием количества решений, пересечением графиков функций или преобразованием известных графиков.

Q: Как определить количество решений уравнения с параметром?

Количество решений определяют аналитически или графически. Аналитический способ основан на исследовании уравнения и его условий существования решений, а графический — на анализе взаимного расположения графиков функций.

Q: Почему в задачах с параметром важно учитывать область допустимых значений?

Область допустимых значений определяет, при каких значениях переменной выражение имеет смысл. Игнорирование ОДЗ может привести к появлению лишних решений или потере правильного ответа.

Q: Какие преобразования графиков чаще всего используются при решении задач с параметром?

Чаще всего используют сдвиг графика по осям координат, отражение относительно осей, растяжение и сжатие графика, а также построение графиков функций с модулем.

Q: Какие ошибки чаще всего допускают при решении задач с параметром?

Типичные ошибки — неверное определение области допустимых значений, потеря корней при преобразованиях, отсутствие проверки найденных решений, неправильный анализ дискриминанта и неполное исследование всех случаев изменения параметра.

Q: Нужно ли проверять найденные решения в задачах с параметром?

Да. После преобразований необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению и области допустимых значений. Это позволяет исключить посторонние корни.

Q: Как научиться быстро решать задачи с параметром?

Для успешного решения задач необходимо уверенно владеть построением графиков функций, знать свойства элементарных функций, понимать преобразования графиков и регулярно разбирать задачи разного уровня сложности.

Q: Какие темы математики необходимо знать для решения задач с параметром?

Полезно хорошо знать алгебру, свойства функций, графики элементарных функций, квадратные уравнения, модули, производную, основы математического анализа и методы исследования функций.

Анкета

Губарева Елена Александровна

Репетитор по высшей математике

Преподаватель и репетитор по высшей математике с опытом более 18 лет. Кандидат физико-математических наук, доцент, выпускница механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Проводит дистанционные занятия по математическому анализу, линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальным уравнениям, дискретной математике и другим разделам высшей математики для студентов вузов.

Аннотация.

В работе рассматривается пример решения задачи с параметром – анализ пересечения двух графиков функций в зависимости от значения параметра d. Функции имеют вид

В задаче необходимо построить график функции $f_1(x)$ и найти значение параметра d для следующих случаев:

А) графики функций не пересекаются – нет точек пересечения;

Б) графики функций пересекаются ровно в одной точке;

В) графики функций пересекаются ровно в двух точках;

Г) графики функций пересекаются ровно в трех точках;

Д) графики функций пересекаются ровно в четырех точках.

Пример функции, который мы разберем в статье:

$f_1(x)= \lvert \frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)} \rvert$

Преобразование функции $$f_1(x)$$ .

Для начала рассмотрим в функции $$f_1(x)$$ подмодульное выражение и обозначим его через $$g(x)$$ , то есть:

g(x)=\frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)}

Определим точки функции $$g(x)$$ , в которых знаменатель обращается в ноль:	$x-1=0 \Rightarrow x=1$ $x+2=0 \Rightarrow x=-2$
Подставим значения найденных точек в числитель:	$x=1:\; \left.(x^4+3x^3-4x)\right\|_{x=1} =0$ $x=-2:\; \left.(x^4+3x^3-4x)\right\|_{x=-2} =0$

Следовательно, значения $$x=1$$ и $$x=-2$$ являются решениями уравнения

\[ x^4+3x^3-4x=0, \]

значит выражение $$x^4+3x^3-4x$$ можно разложить на множители, два из которых — $$(x-1)$$ и $$(x+2)$$ .

ЗАМЕЧАНИЕ: наша функция

g(x)=\dfrac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)}

в точках

\(x=1\)

\(x=-2\)

имеет неопределённость вида

\left\{\dfrac{0}{0}\right\}

. Но можно доказать, что функция

\(g(x)\)

непрерывна в этих точках

- курс «Математический анализ».

Если Вам интересна эта тема, то записывайтесь на занятие:
https://repetitor.ru/view/repetitor-po-vysshej-matematike-gubareva-elena-aleksandrovna-201717/

В результате, наша функция $g(x)$ может быть представлена в следующем виде:

\[ g(x)=\frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)} = \frac{(x^2+2x)(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} = x^2+2x \]

Подробнее о методе «уголком» →

Для построения графика функции необходимо выделить полный квадрат:

\[ g(x)=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1 \]

ЗАМЕЧАНИЕ: конечно, вы можете построить график этой функции по точкам (без выделения полного квадрата), но в других примерах функция может быть намного сложнее.

ЗАМЕЧАНИЕ: функция

\(g(x)\)

определена в точках

\(x=1\)

\(x=-2\)

g(1)=3,\qquad g(-2)=0.

Графическое решение.

График функции $f_1(x)= \lvert \frac{x^4+3x^3-4x}{(x-1)(x+2)} \rvert = \lvert (x+1)^2-1 \rvert$ мы будем строить, используя элементарные преобразования графиков функций : сдвиг по оси $$Ox$$ , сдвиг по оси $$Oy$$ и отражение относительно оси $$Ox$$ .

\lvert (x+1)^2-1 \rvert

III. Симметричное отражение части графика, расположенного ниже оси $Ox$, относительно оси $Ox$, остальная часть без изменений

←

\[ (x+1)^2-1 \]

II. Сдвиг вниз на 1 по оси $Oy$

←

\[ (x+1)^2 \]

I. Сдвиг влево на 1 по оси $Ox$

←

\[ x^2 \]

Заметим, что функция $$f_2(x)=d$$ является прямой, параллельной оси $$Ox$$ .

Из рисунка 1 (график функции $$f_1(x)$$ представлен на рисунке красным цветом) видно, что:

А) графики функций не пересекаются — нет точек пересечения: $$d<0$$ .
Б) графики функций пересекаются ровно в одной точке — графики функций не пересекаются ровно в одной точке .
В) графики функций пересекаются ровно в двух точках: $d\in\{0\}\cup(1;+\infty)$ .
Г) графики функций пересекаются ровно в трёх точках: $$d=1$$ .
Д) графики функций пересекаются ровно в четырёх точках: $d\in(0;1)$ .

Аналитическое решение

Теперь найдём значение параметра $$d$$ аналитически. Для этого приравняем наши функции $f_1(x)=\lvert (x+1)^2-1 \rvert$ и $$f_2(x)=d$$ :

\lvert (x+1)^2-1 \rvert=d

По определению модуля число $d\ge 0$ . Значит, при значении параметра $$d<0$$ решений нет, то есть графики функций $$f_1(x)$$ и $$f_2(x)$$ не пересекаются.

Рассмотрим случай $d\ge 0$ :

При $d\in(0;1)$ имеем ровно четыре корня: $$x_1,x_2,x_3,x_4$$ .

При $d\in(1;+\infty)$ имеем ровно два корня: $$x_1,x_2$$ .

Отдельно рассмотрим значения параметра $$d=0$$ и $$d=1$$ .

При $$d=0$$ уравнение имеет два корня:

\[ (x+1)^2-1=0 \]

\[ (x+1)^2=1 \]

x+1=\pm1

\begin{cases} x_1=0,\\ x_2=-2. \end{cases}

То есть графики функций пересекаются при $$d=0$$ ровно в двух точках.

При $$d=1$$ имеем три корня, то есть графики функций пересекаются ровно в трёх точках:

\begin{cases} x_{1,2}=\pm\sqrt{d+1}-1,\\ x_{3,4}=\pm\sqrt{1-d}-1. \end{cases}

\begin{cases} d=1,\\ x_{1,2}=\pm\sqrt{2}-1,\\ x_3=x_4=-1. \end{cases}

На рисунке 2 представлены области значений параметра $$d$$ .

Ответ.

А) графики функций не пересекаются – нет точек пересечения: d<0.

Б) графики функций пересекаются ровно в одной точке – графики функций не пересекаются ровно в одной точке.

В) графики функций пересекаются ровно в двух точках: $d\in\{0\}\cup(1;+\infty)$

Г) графики функций пересекаются ровно в трех точках: d=1.

Д) графики функций пересекаются ровно в четырех точках: d∈(0;1).

Основные ошибки, допускаемые при решении данной задачи.

Неправильное определение ОДЗ функции - определение ОДЗ функции до преобразования (упрощения) функции.
Ошибки в построении графика функции - сдвиг не в ту сторону, неправильное построение графика модуля функции.
Неверный анализ параметра d -

А: забывают, что модуль числа по определению – это неотрицательное число;

Б: забывают условие неотрицательности дискриминанта;

В: забывают рассмотреть значения параметра, когда уравнение имеет два совпадающих корня.

Путают определения системы “ { “ и совокупности “ [ “

Литература

Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу / под общ. ред. В. А. Садовничего. — М.: Издательство Московского университета, 1988. — 416 с.
Ткачук В. В. Математика — абитуриенту. — 18-е изд., стер. — М.: МЦНМО, 2018. — 944 с.

Анкета

Губарева Елена Александровна

Репетитор по высшей математике

Решение задач с параметром

Графическое решение.

Аналитическое решение

Основные ошибки, допускаемые при решении данной задачи.

Литература

Поделиться:

Комментарии:

Вы репетитор и хотите сотрудничать?

Правила

Регистрация

Анкета

Отклики

Занятия

Определим точки функции $\(g(x)\)$ , в которых знаменатель обращается в ноль:	$x-1=0 \Rightarrow x=1$ $x+2=0 \Rightarrow x=-2$
Подставим значения найденных точек в числитель:	$x=1:\; \left.(x^4+3x^3-4x)\right\|_{x=1} =0$ $x=-2:\; \left.(x^4+3x^3-4x)\right\|_{x=-2} =0$