Прежде всего, договоримся, что мы пока говорим только о неотрицательных целых числах, то есть 0, 1, 2, 3, ….
Что такое система счисления простыми словами
Если простыми словами – это набор знаков, который используется для счёта и сами правила счёта. Человеческая история насчитывает множество способов счёта и по сей день. Хотя бы взять привычную сам десятичную систему счисления, о которой в основном пойдёт речь, и римскую систему счисления. III – десятичное 3, но IV – десятичное 4. L – 50. И это нужно учить, знать. В римской системе свои особенные правила, которых мы сегодня не будем касаться.
Мы поговорим о системах, таких же, как наша привычная десятичная.
Почему именно 10?
Может, потому что у человека 10 пальцев и так удобно было считать. Допустим, что так.
Почему в разных системах запись «10» означает разное число
Представим, что мы улетели на планету Восьмёриков. И там у всех восьмёриков по 8 пальцев.
Давайте разберёмся, почему так?
Нет пальцев – 0.
Один – 1.
Два – 2.
И так далее.
7 – тоже семь.
Но вот мы разгибаем все пальцы, показываем все, что есть. Что мы говорим в данном случае на Земле? 10 пальцев. Это не вписывается в одну цифру, это уже сразу две цифры из нашей десятичной системы. При том, что самая старшая – 9, а всего пальцев у нас – 10.
Теперь вернёмся к восьмёрикам. У них по такой же логике самая старшая цифра – 7. А когда показывают все пальцы – это уже на 1 больше, чем самая большая цифра. То есть по сути 7+1.
Мы бы сказали: будет восемь. Но у них нет такой цифры.
Поэтому получается запись единицы в более старший разряд, а этот, младший разряд, становится самой маленькой цифрой, то есть нулём. Итого получилось «1 0». Тоже десять, то другое, восьмеричное.
Если вы уже ответили на вопрос выше, то давайте разберёмся. Хоть число и записано одинакого, но у них разные системы счисления. Поэтому оно может отличаться. Но может и не отличаться. Например, ноль – он в любой системе ноль. Это просто ничего. Единица – тоже везде есть. Вспомните двоичную систему. Только нули и единицы. А вот 1010 двоичное, 1010 восьмеричное и 1010 десятичное – это совершенно разные числа.
А как понять, что это за числа?
Допустим, мы познакомились с жителями других планет, у всех разное количество пальцев, у кого – 2, 8 или 16. А у нас десять. И мы имеем считать только в этой системе, потому что привыкли так. Поэтому давайте научимся переводить из любой, абсолютно любой системы в нашу привычную десятичную.
Как перевести число из любой системы счисления в десятичную
- b — основание системы счисления.
- \(a_i\) — цифры числа.
- i — номер разряда (считается справа налево, начиная с нуля).
Возьмём 1010 у восьмёриков. Значит, это восьмеричная система.
Алгоритм
1. Нумеруем каждый разряд числа справа налево, начиная с нуля:
| Цифра | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Разряд | 3 | 2 | 1 | 0 |
2. Считаем сумму следующего выражения: каждый разряд исходного числа восьмёриков умножается на восьмёрку, возведённую в степень разряда:
Значит: запись 1010 «тысяча десять» у восьмёриков – это наши 520. Почти в 2 раза меньше вышло, чем могло бы казаться.
И таким алгоритмом мы можем перевести число в нашу привычную десятизнаковую систему (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) из совершенно любой другой системы.
Что делать с шестнадцатеричной системой: A, B, C, D, E, F
Однако вспомним жителей планеты, где по 16 пальцев — шестнадцатерианцев. Все их 16 — для них «1 0».
И правда, будет иначе. Раз у них 16 пальцев, то и система знаков у них больше. Эти знаки могут быть какими угодно. Для определённости будем считать, что это буквы латинского алфавита.
Получается, что после нашей 9 — это и у них 9. Но +1 для нас уже 10, а для них — буква A.
| Десятичное число | Знак в шестнадцатеричной системе |
|---|---|
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | C |
| 13 | D |
| 14 | E |
| 15 | F |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Зная, сколько всего знаков в системе, всегда легко понять, каким знаком обозначается то или иное десятичное число.
На этом, мы с вами разобрались, как переводить числа инопланетян на нашу земную десятичную. В следующей статье мы научимся, как делать наоборот: наши земные числа переводить в инопланетные, а также узнаем о секретной связи между некоторыми планетами, которая позволяет делать такой перевод даже не касаясь нашей собственной любимой десятичной системы счисления.
Если вы хотите интересно учиться математике, информатике и программированию, то можете смело обращаться ко мне на занятия, я помогу вам разобраться в этих познавательных науках! Багдалов Павел.
Комментарии:
Комментировать