11 задание ОГЭ по математике - графики функций: разбор и решение

Графики разных функций

Задания бывают двух типов: с графиками разных функций и графиками функции одного вида. Графики функций 2) и 4) вида встречаются только в заданиях с графиками разных функций.

Для того, чтобы решать задания с графиками разных функций необходимо запомнить внешний вид графика и формулу функции, соответствующей этому графику. Для быстрого и простого запоминания достаточно обратить внимание на х в формулах функций:

− график 1) в виде дуги параболы представляет функцию, где х возводится во 2 степень (х²);

− график 2) в виде двух дуг гиперболы представляет функцию, где есть дробная черта под которой находится х (деление на х);

− график 3) в виде линии представляет функцию, где нет дробной черты, под которой находится х, но есть умножение на х (при этом перед х может быть множитель в виде обыкновенной дроби, например: 12x);

− график 4) в виде одной ветви параболы, «лежащей на боку» представляет функцию, где х находится под знаком квадратного корня.

Рассмотрим решение задания с графиками разных функций на конкретном примере.

График А) – это парабола, следовательно ему должна соответствовать формула, где есть х². Этому условию удовлетворяет только формула 3).

График Б) – это прямая линия и ему должна соответствовать формула с умножением на х. Из оставшихся двух формул, под это условие подходит формула 2).

График В) – это гипербола, и следовательно, формула должна содержать деление на х. Оставшаяся формула 1) выполняет это требование.

Таким образом в ответ надо записать последовательность из трёх цифр: 321.

Графики в аналогичных заданиях могут быть изображены на клетчатой основе, а функции будут расположены перед графиками. Суть алгоритма решения это никак не меняет. То есть задание может выглядеть вот так:

Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка.

Задание 1

Задание 2

Правильные ответы можно посмотреть в конце статьи.

Параболы: коэффициенты a и c

С графиками функций одного вида бывают задания с прямыми линиями и параболами. Они решаются иначе, но тоже очень просто. Начнём с заданий, где все три графика представляют собой параболы. Это графики функции вида y = ax² + bx + c. В таких заданиях необходимо определить какие коэффициенты а и с соответствуют тому или иному графику. Давайте разберёмся за какие параметры графика отвечают эти коэффициенты.

Ветви параболы могут быть направлены вверх или вниз. За их направление отвечает коэффициент а. Если a > 0, то ветви смотрят вверх, если a < 0, то вниз.

В задании даётся три параболы. Две из них могут быть направлены вверх, а третья вниз и наоборот. Таким образом по коэффициенту a можно определить коэффициенты, соответствующие одному из графиков. Давайте разберём это на реальном задании.

В этом задании у графиков А) и В) ветви смотрят вверх, значит функции задающие эти графики имеют коэффициент a > 0. И только у графика Б) ветви параболы направлены вниз, то есть у этой функции коэффициент a < 0. Следовательно графику Б) соответствуют коэффициенты под номером 3).

Осталось определить коэффициенты для графиков А) и В). В этом нам поможет разобраться коэффициент с. Посмотрите на рисунок ниже.

Коэффициент с – это точка пересечения ветви параболы с вертикальной осью координат y. Если эта точка лежит выше горизонтальной оси координат x, то c > 0. Если график параболы пересекает вертикальную ось под горизонтальной осью, то c < 0.

В нашем примере на графике А) точка пересечения параболы с вертикальной осью y лежит под горизонтальной осью x, следовательно у этой функции коэффициент c < 0. Таким образом, графику А) соответствуют коэффициенты под номером 2). На графике В) точка пересечения с осью y находится выше оси x, что указывает на то, что у этой функции коэффициент c > 0. Отсюда следует, что графику В) подходят коэффициенты номер 1). Ответ для этого задания: 321.

В заданиях с однотипными графиками также могут быть переставлены местами графики и коэффициенты, то есть коэффициенты будут обозначены буквами, а графики цифрами, но на логику решения это не оказывает никакого влияния.

Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка.

Задание 3

Задание 4

Прямые: коэффициенты k и b

Осталось разобрать задания с графиками функций одного вида с прямыми линиями. Это графики функции вида y = kx + b. Здесь разработчики заданий представили задания двух типов: с коэффициентами k и b, и с формулами функций. Начнём с заданий, где надо сопоставить рисунок графика коэффициентам функции.

Коэффициент k отвечает за наклон прямой и делает её или возрастающей или убывающей. Как определить возрастает прямая или убывает? Есть удивительно простой способ: надо дорисовать стрелку к правому краю графика прямой линии. Если стрелка смотрит вверх, то это возрастающая функция и k > 0, если вниз, то убывающая и k < 0.

Из трёх графиков в задании два будут возрастающих и один убывающий или два убывающих и один возрастающий. Таким образом по коэффициенту k сразу можно определить одну пару график-коэффициенты. Рассмотрим это на конкретном задании.

Нарисуем стрелки и сразу увидим, что графики А) и Б) возрастающие, а график В) убывающий. Следовательно, для графика В) подойдут коэффициенты с номером 1), только в этом случае k < 0. И как в случае с параболами, с двумя оставшимися графиками и коэффициентами поможет определиться второй коэффициент b. Коэффициент b – это точка пересечения графика с вертикальной осью координат y, аналогично коэффициенту с у графика параболы. Пример определения коэффициента b на рисунке ниже.

В нашем задании на графике А) линия графика пересекает ось y в точке выше оси x и, следовательно, коэффициент b > 0. Соответственно у графика Б) это пересечение ниже оси х и коэффициент b < 0. Таким образом для графика А) подходят коэффициенты под номером 2), а для графика Б) – под номером 3). Ответ для этого задания: 231.

Коэффициенты и графики в заданиях могут быть переставлены местами, но суть хода решения от этого не меняется.

Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка.

Задание 5

Задание 6

Прямые: формулы функций

Графики заданий с формулами функций выполнены на координатной плоскости в клетку. В заданиях этого вида важно понимать, что коэффициент k всегда умножается на x. Если в формуле функции при x нет никакого числового множителя, то коэффициент k = 1, а если перед x стоит только знак «−», то k = −1. Бывает и так, что x в формуле нет, это значит, что k = 0.

Коэффициент b – это вторая часть функции в виде числового значения, и, если в формуле функции его нет, значит b = 0.

Рассмотрим решение такого типа задания. Стрелки дорисовываем, как в предыдущем задании.

Здесь один график А) возрастает и один график Б) убывает. Так как за наклон графика отвечает коэффициент k, то следует предположить, что для графика В) он равен 0. Без x только одна формула 2) – она и соответствует графику В). У формулы 1) перед x стоит только знак «−», значит k = −1, следовательно k < 0, что подходит для графика Б). При этом, обратите внимание, у формулы 1) нет коэффициента b и график функции проходит через начало координат, то есть b = 0. У оставшейся формулы 3) есть оба коэффициента: k = 1 ⇒ k > 0 и b = −1 ⇒ b < 0. Это соответствует графику А). Ответ: 312.

Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка.

Задание 7

Задание 8

Все возможные варианты 11 заданий ОГЭ рассмотрены.

Если эта статья была понятна и полезна, присоединяйтесь к моим онлайн занятиям по подготовке к ОГЭ. Расскажу много интересных и простых способов решения других задач, поделюсь лайфхаками по подготовке к экзамену.

С уважением, Константин Фёдорович Комаров.

Ответы на задания для самостоятельного решения