Интегрально-дифференциальное исчисление встречается у обучающихся повсеместно: входит в состав программы для 11 класса школы по ФГОС, в общей и теоретической физике, на международных экзаменах A-level, на высшей математике в университете и др.
Идея основывается на хорошо известном определении производной и дифференциала скалярной функции, например, одной переменной
Занесением под дифференциал dx части f′(x) является замена блока f′(x) dx на дифференциал некоторой функции df(x), которая будет выступать в качестве новой переменной интегрирования. Под знаком d может стоять не только x. Изменение изначальной переменной интегрирования на dx приводит к изменению зависящей от неё функции df(x).
Например, x – кол-во проданного товара, а f(x) – выручка. Зная, как выручка зависит от единиц проданного товара, можно определить, сколько товара было продано и наоборот. Анализировать финансовую составляющую предприятия за месяц можно не в терминах того, как изменилось кол-во проданного товара dx по сравнению с прошлым месяцем, а в терминах изменения выручки df(x).
А теперь посмотрим, как это работает на конкретных примерах.
Пример 1: Разминка.
Здесь выделена функция g(x) = sin2 x для удобства, её не трогаем. А вот блок sin x dx = f′(x)dx по определению есть df(x). Т.к. из обозначения f′(x) = sin x, то f(x) = − cos x, используя основное тригонометрическое тождество и замену переменных cos x = t:
Пример 2: Что-то «определённее».
Рассмотрим пример посложнее и с пределами.
Здесь мы домножили и числитель и знаменатель на ex. Узнаёте конструкцию? Если f′(x) dx = df(x), то ex dx = dex. Преобразуя числитель и осуществляя замену переменных t = ex, интеграл сводится к табличному арктангенсу.
Пример 3: из физики.
Рассмотрим второй закон Ньютона \(ma=m\frac{dv}{dt}=F\). Домножим обе части на малую пройденную под воздействием приложенной силы F дистанцию dx = v dt и занесём под дифференциал часть уравнения, содержащую скорость v:
Здесь \(K=\frac{mv^2}{2}\) — классическая кинетическая энергия тела. Приращение кинетической энергии \(dK\) равно элементарной работе \(\delta A=F\,dx\) — теорема о кинетической энергии выведена в одну строчку лёгким движением руки, ровно как и посчитаны первые 2 интеграла.
ЕГЭ и A-level: где может пригодиться
В профильное ЕГЭ по математике интегрирование на момент написания данной статьи не включено вовсе: первообразная появляется в одном задании – на уровне чтения и интерпретации графиков функций одной переменной, а вычислять интегралы не требуется нигде. В International A-level Mathematics (в каком-то смысле аналог ЕГЭ в британской системе) картина отлична: integration by substitution и reverse chain rule входят в обязательную программу старших классов, и на экзамене от школьника-абитуриента ожидают именно умения увидеть df(x). То, что российский студент осваивает на мат. анализе первого курса университета, его зарубежный ровесник обязан уметь к школьному выпускному. Поэтому для тех, кто готовится к A-level или к поступлению в зарубежный вуз, подведение под дифференциал – не факультативные излишества, а экзаменационная программа. А будущему первокурснику российского вуза умение брать интегралы стандартными методами даёт возможность прийти на мат. анализ с форой.
Попробуй сам:
\(\displaystyle \int x^2 e^{x^3}\,dx\).
Комментарии:
Комментировать