В первых пяти заданиях ОГЭ по математике есть только 7 типов задач. Все эти 7 типов представлены в открытом банке ОГЭ, они были на экзаменах в 2020–2026 годах. Задача про форматы бумаги одна из них. Казалось бы, очень простая задача, но даже отличники часто допускают банальные ошибки при решении. Постараюсь просто объяснить все варианты заданий, относящихся к этой задаче.
Общие условия для всех заданий этой задачи сформулированы следующим образом:
В первую очередь хочу обратить внимание на фразу «разрезать пополам». Она означает ни что иное, как поделить на 2. Дело в том, что для решения большинства заданий этой задачи будут использоваться степень числа с основанием 2 и арифметический квадратный корень из 2 (\(\sqrt{2} \approx 1{,}4\)).
Также надо понимать, что чем больше цифра у формата листа, тем меньше этот лист. Например, лист формата А2 больше листа формата А5.
Предлагаемые в этой статье методы решения не являются единственно правильными. Есть много различных способов решить ту или иную математическую задачу. Описанные ниже методы решений являются наиболее простыми и быстрыми с точки зрения минимизации вычислительных ошибок.
Задание 1. Соответствие форматов и размеров листов
В первом задании предлагается установить соответствие между форматами и номерами листов. Разберём одно такое задание из открытого банка тестовых заданий ФИПИ.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А2, А3, А5 и А6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов.
Решать такие задания можно отталкиваясь либо от самого большего формата (в нашем случае это А2), либо от самого меньшего (А6). Решим это задание от формата А2:
- в столбце «Длина (мм)» найдём самое большое число, это будет 594 в строке с номером листа 2, который и соответствует формату А2;
- далее по убыванию идёт число 420 в строке с номером листа 4, который будет соответствовать формату А3;
- следующее число 210 строке с номером листа 1 — формат А5;
- и оставшееся наименьшее число 148 строке с номером листа 3, соответствует меньшему формату А6.
Таким образом ответ на это задание будет выглядеть следующим образом:
| А2 | А3 | А5 | А6 |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 1 | 3 |
А в бланке ответов надо будет записать последовательность из четырёх цифр: 2413.
Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка
Задание 1.1
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А2, А3, А4 и А6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов.
| А2 | А3 | А4 | А6 |
Задание 1.2
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А0, А1, А2 и А4.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов.
| A0 | A1 | A2 | A4 |
Правильные ответы можно посмотреть в конце статьи.
Задание 2. Сколько листов меньшего формата получится из большего
Во втором задании этой задачи требуется определить сколько листов меньшего формата получится из листа большего формата.
Для решения заданий такого типа надо запомнить один алгоритм: из большей цифры формата листа (в решаемом примере это 4) надо вычесть меньшую цифру (в нашем примере 1):
В результате получим степень, в которую на до возвести число 2:
Это и есть ответ. Из одного листа формата А1 получится 8 листов формата А4.
В общем виде этот алгоритм, позволяющий вычислить количество листов меньшего формата из листа большего формата, можно представить в виде формулы:
где \(n\) — это разность между большим и меньшим номером формата.
Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка
Задание 2.1
Задание 2.2
Задание 3. Длина, ширина и отношение сторон
В третьем задании, как правило, предлагается найти длину или ширину листа определённого формата и округлить её до ближайшего целого числа, кратного 10.
Для решения заданий такого типа необходимо использовать данные из первого задания и изображение из общих условий к задаче. Ширина листа — это меньшая сторона. Из рисунка видно, что ширина листа формата А4 равна половине длины (большей стороны) листа формата А3.
Из первого задания известно, что длина формата А3 равна 420 мм, отсюда получаем ширину формата А4:
Признак кратности 10 (или, что то же самое, делимости на 10): число кратно 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0. В нашем случае 210 целое число кратное 10, поэтому округление не требуется.
При округлении надо учитывать следующее:
- если число заканчивается на 1, 2, 3 или 4, то округлять надо в меньшую сторону. Например, число 594 при округлении до ближайшего целого, кратного 10 станет числом 590;
- если число заканчивается на 5, 6, 7, 8 или 9, то округлять надо в большую сторону. Например, число 148,5 при округлении до ближайшего целого, кратного 10 станет числом 150.
Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка
Задание 3.1
Задание 3.2
Отношение длин сторон
Также в качестве третьего задания могут предложить задания на вычисление отношения длин сторон листа одного из форматов.
Здесь надо обратить внимание на текст из общих условий к заданиям:
Отсюда следует, что совершенно всё равно отношение длины (большая сторона листа) и ширины (меньшая сторона листа) какого формата рассматривать: значение будет одинаковое. Проверим это на данных из первого задания.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 594 |
| 2 | 1189 | 841 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 594 | 420 |
Для листа под номером 1:
при округлении до десятых получим 1,4.
Для листа под номером 2:
при округлении до десятых получим тоже 1,4.
Для листа под номером 3:
при округлении до десятых получим тоже 1,4.
Таким образом, очевидно, что значение отношения длины к ширине одинаково для всех форматов.
Встречаются и задания на отношение ширины (длина меньшей стороны листа) к длине (длина большей стороны листа).
И в этом случае значение отношения будет одинаково для всех форматов. Докажем это на примере данных из первого задания.
Для листа под номером 1:
при округлении до десятых получим 0,7.
Для листа под номером 2:
при округлении до десятых получим тоже 0,7.
Для листа под номером 3:
при округлении до десятых получим тоже 0,7.
Значение получилось опять одно и то же, что и требовалось доказать.
Задание 4. Площадь листа
В качестве четвёртого задания необходимо посчитать площадь листа одного из форматов.
Эти задания имеют по два правильных ответа. Так как лист бумаги является прямоугольником, то и площадь листа можно посчитать, умножив длину на ширину. Здесь есть один нюанс, который очень часто приводит к ошибке в ответе: длина и ширина в первом задании даются в миллиметрах, а ответ требуется дать в квадратных сантиметрах. Перевод из одних единиц измерения в другие очень часто сопровождается ошибками. Решая это задание таким способом лучше сначала перевести миллиметры в сантиметры и только потом вычислять площадь.
Из первого задания известно, что длина листа формата А3 равна 420 мм, а ширина — 297 мм. В одном сантиметре десять миллиметров, поэтому для перевода длины и ширины в сантиметры, значения в миллиметрах надо поделить на 10. Получим длину листа формата А3 равной 42 см, ширину — 29,7 см. Осталось перемножить эти два числа и ответ готов:
Это первый правильный ответ.
Второй вариант решения является более точным, так как отталкивается от площади исходного листа формата А0 из которого и получаются все остальные меньшие форматы. В общих условиях к заданиям сказано, что лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью 1 кв. м.
В одном метре сто сантиметров, а один квадратный метр, выраженный в квадратных сантиметрах — это произведение 100 сантиметров на 100 сантиметров:
Для вычисления площади листа любого формата надо запомнить это число 10 000 (десять тысяч). Теперь найдём второй правильный ответ для площади листа формата А3. Для этого необходимо число 2 возвести в степень, соответствующую номеру формата (в нашем случае это 3):
Далее необходимо 10 000 поделить на получившийся результат возведения в степень:
Это второй правильный ответ. Второй вариант решения является лучшим с точки зрения минимизации вычислительных ошибок и исключения необходимости искать размеры листа конкретного формата.
Задание для самостоятельного решения и закрепления навыка
Задание 4.1
Задание 5. Масса пачки бумаги и размер шрифта
Пятое задание представлено в двух вариантах. В одном предлагается вычислить массу пачки бумаги из листов какого-нибудь формата.
Из общего описания известно, что площадь листа формата А0 равна 1 кв. м. Используя формулу из задания 2, можно вычислить, что из листа формата А0 можно получить 32 листа формата А5. Таким образом можно узнать сколько весит один лист формата А5:
Пачка из 500 листов формата А5 будет весить:
В другом варианте пятого задания необходимо вычислить размер шрифта, чтобы при печати на большем или меньшем формате листа текст располагался также как и на исходном листе.
Для решения задания такого типа, необходимо определить будет размер шрифта увеличиваться или уменьшаться. В предлагаемом примере исходный формат А4, а конечный А3. Так как формат листа А3 больше, чем А4, то делаем вывод, что размер шрифта будет увеличиваться. Чтобы узнать нужный размер шрифта надо исходный размер (в нашем примере 15 пунктов) умножить на 1,4 и округлить до целого числа.
В результате умножения получилось целое число, которое и является правильным ответом.
В случае, если размер шрифта будет уменьшаться, т. е. исходный размер листа будет больше конечного, то исходный размер шрифта надо разделить на 1,4 с последующим округлением до целого по правилам математического округления.
Задания для самостоятельного решения и закрепления навыка
Задание 5.1
Задание 5.2
Все возможные варианты заданий из задачи на форматы бумаги рассмотрены.
Если эта статья была понятна и полезна, присоединяйтесь к моим онлайн занятиям по подготовке к ОГЭ. Расскажу много интересных и простых способов решения других задач, поделюсь лайфхаками по подготовке к экзамену.
С уважением, Константин Фёдорович Комаров.
Ответы на задания для самостоятельного решения
| Номер задания | Правильный ответ |
|---|---|
| 1.1 | 1243 |
| 1.2 | 2143 |
| 2.1 | 2 |
| 2.2 | 4 |
| 3.1 | 840 |
| 3.2 | 840 |
| 4.1 | 310,8 или 312,5 |
| 5.1 | 4800 |
| 5.2 | 11 |
FAQ
Как определить, какой формат бумаги соответствует размерам в таблице?
Сравните длины листов: чем меньше номер формата, тем больше лист. Самый большой лист соответствует формату с наименьшей цифрой.
Сколько листов меньшего формата получится из одного большого листа?
Вычтите меньший номер формата из большего и возведите 2 в полученную степень. Например, из А1 получится \(2^{4-1}=8\) листов А4.
Каково отношение сторон листов формата А?
Большая сторона относится к меньшей примерно как 1,4, а меньшая к большей — примерно как 0,7. Эти значения одинаковы для всех форматов серии А.
Как найти площадь листа формата А в квадратных сантиметрах?
Площадь листа формата А0 равна 10 000 см². Для формата с номером \(n\) площадь можно вычислить по формуле \(10\,000 / 2^n\).
Как рассчитать массу пачки бумаги?
Сначала разделите массу одного квадратного метра бумаги на \(2^n\), где \(n\) — номер формата. Полученную массу одного листа умножьте на количество листов в пачке.
Как изменить размер шрифта при переходе между соседними форматами?
При переходе на соседний больший формат умножьте размер шрифта на 1,4, а при переходе на соседний меньший — разделите на 1,4. Результат округлите до целого.
Комментарии:
Комментировать